教学研讨｜9.2.4总体离散程度的估计（2019版新教材）

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▍来源：网络

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研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

1.内容

极差、方差和标准差的概念和统计含义，总体方差或标准差的估计.

2.内容解析

在统计学中，为了了解一组数据的特征，我们可以从这组数据的取值规律、集中趋势和离散程度等进行研究.一组数据的离散程度可以反映这组数据的波动情况或稳定性，刻画一组数据的离散程度的统计量有很多，最常用的是极差、方差和标准差.

极差是一种较为简单的刻画方式，它反映了一组数据的取值范围。极差只用了这组数据中最大和最小两个数据的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差包含的信息量极少.方差运用平均距离的思想来刻画一组数据的离散程度，它反映了各个数据聚集于平均数周围的程度.方差越小，表明该组数据在平均数的周围越集中；方差越大，表明该组数据越分散.方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.对方差开平方，取其算术平方根得到标准差.标准差的单位与数据的单位相同，其含义与方差相同.

假设有两组数据，而且已知每组数据的观测个数、平均数和标准差（或方差）,可以通过它们直接计算两组数据合并后全部数据的方差，这大大提高了计算效率。

如果一组数据是总体中全部个体的观测值，那么这组数据的方差、标准差和极差就称为总体的方差、标准差和极差，如果这组数据是样本观测值，那么这组数据的方差、标准差和极差就是样本的方差、标准差和极差，与用样本均值估计总体均值的思想类似，可以用样本方差、标准差和极差估计总体方差、标准差和极差，

根据上述分析，确定本节课教学重点：方差和标准差的意义与计算；已知两组数据的观测个数、平均数和标准差或方差时，两组数据合并后所有数据的平均数和标准差的计算方法与思想

二、目标和目标解析

1.目标

(1)通过实例，理解极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义

(2)掌握用样本的离散程度参数估计总体的离散程度的方法，体会样本估计总体的思想，发展数据分析素养。

2.目标解析

达成上述目标的标志是

(1)知道极差、方差、标准差可以刻画数据离散程度，反映数据的稳定性；能用平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行比较和评价；能用平均数和标准差描述数据的取值范围；知道多数数据在平均数减去两倍标准差与平均数加两倍标准差的范围内.

(2)对于通过试验、简单随机抽样等途径获得的样本数据，会计算样本方差和样本标准差对于两组数据汇总得到的数据，能通过两组数据各自的样本量、平均数和标准差（或方差）计算两组数据合并后所有数据的平均数和标准差（或方差）.能用样本数据的方差和标准差估计总体的方差和标准差，在此过程中体会样本估计总体的思想.

三、教学问题诊断分析

在大数据时代，数据众多，有时需将不同来源的数据进行整合.针对数据多、计算量大的实际问题，可以采用分步计算的方法，先分别处理不同来源的数据，再计算所有数据的统计结果.在分层随机抽样中，每层得到的调查数据作为一个组，学生已经学习了已知每组数据的均值和样本量，计算两组数据合并后所有数据总均值的方法——加权平均，但总方差的计算需要知道每组数据的个数、平均数和标准差。在推导总方差的计算公式时，需要用符号对样本进行表示，通过代数变形进行推导，推导过程较复杂，学生在初中仅会计算简单数据的方差，对这类问题未曾接触，同时学生对大量复杂的数学符号存在认知障碍。在教学过程中，教师应尽量多用语言（符号代表的统计意义）对公式的含义进行解释，帮助学生逐步适应复杂的数学符号.

本节课的教学难点是：已知每组数据个数、平均数和方差，获得各组数据合并后全部数据的方差的计算公式，及计算中的递推思想.

【以上大部分内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。】

四、教学重点、难点

重点：方差和标准差的意义与计算；已知两组数据的观测个数、平均数和标准差或方差时，两组数据合并后所有数据的平均数和标准差的计算方法与思想

难点：已知每组数据个数、平均数和方差，获得各组数据合并后全部数据的方差的计算公式，及计算中的递推思想.

五、数学学科素养

★水平一

1.理解最值、平均数、中位数、百分位数、众数的统计含义，会计算平均数、中位数和百分位数.（数学抽象）

2.理解极差、方差和标准差的统计含义，会计算数据的方差和标准差.（数学运算）

★水平二

能根据数据的数字特征对事件进行科学的决策.（逻辑推理）

六、教学过程：见《研讨素材二》

研讨素材二

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研讨素材三

简单随机抽样

分层抽样

系统抽样 

用样本的频率分布估计总体分布

用样本的数字特征估计总体的数字特征

2.3  变量间的相关关系(2课时)

END

全

文

完

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